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From the figure above,

$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{\left\{}\mathrm{0}\mathrm{<}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{<}\mathit{z}\mathrm{\right\}}\mathrm{=}\mathrm{\left\{}$

$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathit{z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathit{z}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{1}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{0}\mathrm{\le }\mathrm{<}\mathit{z}\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{2}\mathrm{<}\mathrm{1}\mathrm{.}$

An alternative derivation uses integration. For example, in the case $\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{1}\mathrm{,}$

$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{\left\{}\mathrm{0}\mathrm{<}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{<}\mathit{z}\mathrm{\right\}}\mathrm{=}\underset{\mathrm{0}\mathrm{<}\mathit{x}\mathrm{+}}{\int }\underset{\mathit{y}\mathrm{<}\mathit{z}}{\int }\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{x}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{y}\mathrm{\right)}$dxdy $\mathrm{=}{\int }_{\mathit{y}\mathrm{=}\mathrm{0}}^{\mathit{z}}{\int }_{\mathit{x}\mathrm{=}\mathrm{0}}^{\mathit{z}\mathrm{-}\mathit{y}}$dxdy $\mathrm{=}{\int }_{\mathit{y}\mathrm{=}\mathrm{0}}^{\mathit{z}}\mathrm{\left(}\mathit{z}\mathrm{-}\mathit{y}\mathrm{\right)}\mathrm{d}\mathit{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{.}$

(b) If $\mathit{Z}\mathrm{=}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}$, then $\mathit{Z}$ has cumulative distribution function $\mathit{F}\mathrm{\left(}\mathit{z}\mathrm{\right)}$ where, from (a) above,

$\mathit{F}\mathrm{\left(}\mathit{z}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{\left\{}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{\le }\mathit{z}\mathrm{\right\}}\mathrm{=}\mathrm{\left\{}$

$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathit{z}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{2}\mathrm{-}\mathit{z}{\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}$ $\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{1}\mathrm{\le }\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{2}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{0}\mathrm{<}\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{1}\mathrm{.}$

Probability density function for $\mathit{Z}$ is then $\mathit{f}\mathrm{\left(}\mathit{z}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\frac{\mathrm{d}\mathit{F}\mathrm{\left(}\mathit{z}\mathrm{\right)}}{\mathrm{d}\mathit{z}}\mathrm{=}\mathrm{\left\{}$

$\mathit{z}$

if $\mathrm{0}\mathrm{<}\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{1}\mathrm{,}$ $\mathrm{2}\mathrm{-}\mathit{z}$ if $\mathrm{1}\mathrm{\le }\mathit{z}\mathrm{<}\mathrm{2}\mathrm{.}$

$\mathit{Z}$ has a triangular distribution on the interval $\mathrm{\left(}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{2}\mathrm{\right)}$ with mode at $\mathit{z}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{.}$

Worked Example: Lecture 14

Measurements of stature were made on each member of a large population of pairs of adult brothers. The height of the elder brother was denoted by $\mathit{X}$ and of the younger brother by $\mathit{Y}$. Both $\mathit{X}$ and $\mathit{Y}$ had the same mean $\mathit{\mu }$ and the same standard deviation $\mathit{\sigma }$. The correlation coefficient was $\mathit{\rho }\mathrm{.}$ Deduce the mean and variance of (i) $\mathit{U}\mathrm{=}\mathit{X}\mathrm{-}\mathit{Y}$, and (ii) $\mathit{V}\mathrm{=}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{.}$

Derive the covariance of $\mathit{U}$ and $\mathit{V}\mathrm{.}$

$\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{U}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{-}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{-}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathit{\mu }\mathrm{-}\mathit{\mu }\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{.}$

Var $\mathrm{\left[}\mathit{U}\mathrm{\right]}\mathrm{=}$ Var $\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{-}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}$ Var $\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{+}$ Var $\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathit{\rho }{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathit{\rho }\mathrm{\right)}$ , as

corr(X, $\mathit{Y}$) $\mathrm{=}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathit{Y}\mathrm{\right)}}{\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}}}$ $\mathrm{⇒}$ cov $\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}}\mathrm{=}\mathit{\rho }\sqrt{{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}}\mathrm{=}\mathit{\rho }{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}$

$\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{V}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{+}\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathit{\mu }\mathrm{+}\mathit{\mu }\mathrm{=}\mathrm{2}\mathit{\mu }\mathrm{.}$

Var[V] $\mathrm{=}$ Var $\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{\left[}\mathit{X}\mathrm{\right]}\mathrm{+}$ Var $\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathit{\rho }{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathit{\rho }\mathrm{\right)}$ .

cov $\mathrm{\left(}\mathit{U}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{V}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{-}\mathit{Y}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{X}\mathrm{+}\mathit{Y}\mathrm{\right)}$ $\mathrm{=}$ cov $\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{X}\mathrm{\right)}$ —cov $\mathrm{\left(}\mathit{Y}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\mathrm{+}$ cov $\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}\mathrm{-}$ cov $\mathrm{\left(}\mathit{Y}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{X}\mathrm{\right)}$ $\mathrm{=}$ Var[X] —Var $\mathrm{\left[}\mathit{Y}\mathrm{\right]}\mathrm{+}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}$ —cov $\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}$

$\mathrm{=}$ ${\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}$ —cov $\mathrm{\left(}\mathit{X}\mathrm{,}\mathrm{ }\mathit{Y}\mathrm{\right)}$

$\mathrm{=}$ $\mathrm{0}\mathrm{.}$

Worked Example: Lecture 14.

Let $\mathit{T}\mathrm{=}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}{\mathit{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}{\mathit{X}}_{\mathrm{2}}$, where ${\mathit{X}}_{\mathrm{1}}$ and ${\mathit{X}}_{\mathrm{2}}$ are uncorrelated random variables with mean $\mathit{\mu }$ and variance ${\mathit{\sigma }}^{\mathrm{2}}$, and ${\mathit{a}}_{\mathrm{1}}$ and ${\mathit{a}}_{\mathrm{2}}$ are constants chosen so that $\mathrm{E}\mathrm{\left[}\mathit{T}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathit{\mu }\mathrm{.}$

Deduce that the choice ${\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{-}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}$ gives $\mathit{E}\mathrm{\left[}\mathit{T}\mathrm{\right]}\mathrm{=}\mathit{\mu }\mathrm{.}$

In this case prove that the variance of $\mathit{T}$ is a minimum if ${\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{.}$

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